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\)
Appendix D Solutions to Exercises
1 Vectors and Geometry in Two and Three Dimensions
1.1 Points
Exercises
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.1.6. (✳).
1.1.7.
1.2 Vectors
1.2.9 Exercises
1.2.9.1.
1.2.9.2.
1.2.9.3.
1.2.9.4.
1.2.9.5.
1.2.9.6.
1.2.9.7.
1.2.9.8.
1.2.9.9.
1.2.9.10.
1.2.9.11.
1.2.9.12.
1.2.9.13.
1.2.9.14.
1.2.9.15.
1.2.9.16.
1.2.9.17.
1.2.9.18.
1.2.9.19. (✳).
1.2.9.20.
1.2.9.21.
1.2.9.22.
1.2.9.23.
1.2.9.24.
1.2.9.25.
1.2.9.26.
1.2.9.27.
1.2.9.28.
1.2.9.29.
1.2.9.30. (✳).
1.2.9.31.
1.2.9.32.
1.2.9.33.
1.2.9.34.
1.2.9.35.
1.2.9.36.
1.2.9.37.
1.2.9.38.
1.2.9.39.
1.2.9.40.
1.2.9.41.
1.3 Equations of Lines in 2d
Exercises
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
1.3.6.
1.3.7.
1.3.8.
1.3.9.
1.4 Equations of Planes in 3d
Exercises
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4. (✳).
1.4.5.
1.4.6.
1.4.7.
1.4.8.
1.4.9. (✳).
1.4.10. (✳).
1.4.11. (✳).
1.4.12. (✳).
1.4.13. (✳).
1.4.14.
1.4.15.
1.4.16.
1.4.17.
1.4.18.
1.4.19. (✳).
1.4.20. (✳).
1.5 Equations of Lines in 3d
Exercises
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.
1.5.7. (✳).
1.5.8.
1.5.9.
1.5.10. (✳).
1.5.11. (✳).
1.5.12. (✳).
1.5.13. (✳).
1.5.14. (✳).
1.5.15. (✳).
1.5.16.
1.5.17.
1.6 Curves and their Tangent Vectors
1.6.2 Exercises
1.6.2.1.
1.6.2.2.
1.6.2.3.
1.6.2.4.
1.6.2.5.
1.6.2.6.
1.6.2.7.
1.6.2.8.
1.6.2.9. (✳).
1.6.2.10. (✳).
1.6.2.11.
1.6.2.12. (✳).
1.6.2.13.
1.6.2.14.
1.6.2.15. (✳).
1.6.2.16. (✳).
1.6.2.17. (✳).
1.6.2.18. (✳).
1.6.2.19. (✳).
1.6.2.20.
1.6.2.21. (✳).
1.6.2.22. (✳).
1.6.2.23. (✳).
1.6.2.24. (✳).
1.6.2.25. (✳).
1.6.2.26.
1.6.2.27.
1.6.2.28. (✳).
1.6.2.29. (✳).
1.6.2.30. (✳).
1.7 Sketching Surfaces in 3d
1.7.2 Exercises
1.7.2.1. (✳).
1.7.2.2.
1.7.2.3.
1.7.2.4.
1.7.2.5. (✳).
1.7.2.6. (✳).
1.7.2.7. (✳).
1.7.2.8. (✳).
1.7.2.9.
1.7.2.10.
1.7.2.11.
2 Partial Derivatives
2.1 Limits
2.1.2 Exercises
2.1.2.1.
2.1.2.2.
2.1.2.3.
2.1.2.4.
2.1.2.5.
2.1.2.6.
2.1.2.7. (✳).
2.1.2.8. (✳).
2.1.2.9. (✳).
2.1.2.10.
2.1.2.11. (✳).
2.1.2.12.
2.2 Partial Derivatives
2.2.2 Exercises
2.2.2.1.
2.2.2.2.
2.2.2.3. (✳).
2.2.2.4.
2.2.2.5.
2.2.2.6. (✳).
2.2.2.7. (✳).
2.2.2.8. (✳).
2.2.2.9.
2.2.2.10.
2.2.2.11.
2.2.2.12.
2.3 Higher Order Derivatives
2.3.3 Exercises
2.3.3.3.
2.3.3.4.
2.3.3.5.
2.3.3.6. (✳).
2.4 The Chain Rule
2.4.5 Exercises
2.4.5.1.
2.4.5.2.
2.4.5.3. (✳).
2.4.5.4.
2.4.5.5.
2.4.5.6.
2.4.5.7.
2.4.5.8.
2.4.5.9. (✳).
2.4.5.10. (✳).
2.4.5.11. (✳).
2.4.5.12. (✳).
2.4.5.13. (✳).
2.4.5.14. (✳).
2.4.5.15. (✳).
2.4.5.16. (✳).
2.4.5.17. (✳).
2.4.5.18. (✳).
2.4.5.19. (✳).
2.4.5.20. (✳).
2.4.5.21. (✳).
2.4.5.22. (✳).
2.4.5.23. (✳).
2.4.5.24. (✳).
2.4.5.25. (✳).
2.5 Tangent Planes and Normal Lines
2.5.3 Exercises
2.5.3.1.
2.5.3.2.
2.5.3.3.
2.5.3.4.
2.5.3.5. (✳).
2.5.3.6. (✳).
2.5.3.7.
2.5.3.8. (✳).
2.5.3.9. (✳).
2.5.3.10. (✳).
2.5.3.11. (✳).
2.5.3.12. (✳).
2.5.3.13. (✳).
2.5.3.14.
2.5.3.15.
2.5.3.16. (✳).
2.5.3.17. (✳).
2.5.3.18. (✳).
2.5.3.19.
2.6 Linear Approximations and Error
2.6.3 Exercises
2.6.3.3.
2.6.3.4. (✳).
2.6.3.5.
2.6.3.6. (✳).
2.6.3.7. (✳).
2.6.3.8.
2.6.3.9.
2.6.3.10. (✳).
2.6.3.11.
2.6.3.12. (✳).
2.6.3.13. (✳).
2.6.3.14. (✳).
2.6.3.15. (✳).
2.6.3.16. (✳).
2.6.3.17. (✳).
2.6.3.18. (✳).
2.6.3.19. (✳).
2.6.3.20. (✳).
2.6.3.21. (✳).
2.6.3.22. (✳).
2.6.3.23. (✳).
2.6.3.24. (✳).
2.6.3.25. (✳).
2.6.3.26. (✳).
2.6.3.27. (✳).
2.7 Directional Derivatives and the Gradient
2.7.2 Exercises
2.7.2.1. (✳).
2.7.2.2. (✳).
2.7.2.3.
2.7.2.4.
2.7.2.5.
2.7.2.6. (✳).
2.7.2.7. (✳).
2.7.2.8. (✳).
2.7.2.9.
2.7.2.10. (✳).
2.7.2.11. (✳).
2.7.2.12. (✳).
2.7.2.13. (✳).
2.7.2.14. (✳).
2.7.2.15. (✳).
2.7.2.16. (✳).
2.7.2.17. (✳).
2.7.2.18. (✳).
2.7.2.19. (✳).
2.7.2.20. (✳).
2.7.2.21. (✳).
2.7.2.22. (✳).
2.7.2.23. (✳).
2.7.2.24. (✳).
2.7.2.25. (✳).
2.7.2.26. (✳).
2.7.2.27. (✳).
2.7.2.28.
2.7.2.29. (✳).
2.7.2.30. (✳).
2.7.2.31. (✳).
2.7.2.32. (✳).
2.7.2.33. (✳).
2.7.2.34. (✳).
2.8 A First Look at Partial Differential Equations
2.8.3 Exercises
2.8.3.3.
2.8.3.4. (✳).
2.8.3.5.
2.8.3.6.
2.8.3.7.
2.8.3.8.
2.8.3.9.
2.8.3.10.
2.8.3.11.
2.8.3.12.
2.8.3.13.
2.8.3.14.
2.9 Maximum and Minimum Values
2.9.4 Exercises
2.9.4.1. (✳).
2.9.4.2.
2.9.4.3.
2.9.4.4. (✳).
2.9.4.5. (✳).
2.9.4.6. (✳).
2.9.4.7. (✳).
2.9.4.8. (✳).
2.9.4.9.
2.9.4.10. (✳).
2.9.4.11. (✳).
2.9.4.12.
2.9.4.13.
2.9.4.14. (✳).
2.9.4.15. (✳).
2.9.4.16. (✳).
2.9.4.17. (✳).
2.9.4.18. (✳).
2.9.4.19. (✳).
2.9.4.20. (✳).
2.9.4.21. (✳).
2.9.4.22. (✳).
2.9.4.23. (✳).
2.9.4.24. (✳).
2.9.4.25. (✳).
2.9.4.26. (✳).
2.9.4.27. (✳).
2.9.4.28. (✳).
2.9.4.29. (✳).
2.9.4.30.
2.9.4.31.
2.9.4.32. (✳).
2.9.4.33. (✳).
2.9.4.34. (✳).
2.9.4.35.
2.10 Lagrange Multipliers
2.10.2 Exercises
2.10.2.3.
2.10.2.4.
2.10.2.5. (✳).
2.10.2.6. (✳).
2.10.2.7. (✳).
2.10.2.8. (✳).
2.10.2.9. (✳).
2.10.2.10. (✳).
2.10.2.11. (✳).
2.10.2.12. (✳).
2.10.2.13. (✳).
2.10.2.14. (✳).
2.10.2.15. (✳).
2.10.2.16. (✳).
2.10.2.17. (✳).
2.10.2.18. (✳).
2.10.2.19.
2.10.2.20. (✳).
2.10.2.21. (✳).
2.10.2.22. (✳).
2.10.2.23. (✳).
2.10.2.24. (✳).
2.10.2.25. (✳).
2.10.2.26. (✳).
2.10.2.27. (✳).
2.10.2.28. (✳).
2.10.2.29. (✳).
2.10.2.30.
3 Multiple Integrals
3.1 Double Integrals
3.1.7 Exercises
3.1.7.3.
3.1.7.4.
3.1.7.5. (✳).
3.1.7.6. (✳).
3.1.7.7. (✳).
3.1.7.8. (✳).
3.1.7.9. (✳).
3.1.7.10. (✳).
3.1.7.11. (✳).
3.1.7.12. (✳).
3.1.7.13. (✳).
3.1.7.14. (✳).
3.1.7.15. (✳).
3.1.7.16. (✳).
3.1.7.17. (✳).
3.1.7.18. (✳).
3.1.7.19. (✳).
3.1.7.20. (✳).
3.1.7.21. (✳).
3.1.7.22. (✳).
3.1.7.23. (✳).
3.1.7.24. (✳).
3.1.7.25. (✳).
3.1.7.26. (✳).
3.1.7.27. (✳).
3.1.7.28. (✳).
3.2 Double Integrals in Polar Coordinates
3.2.5 Exercises
3.2.5.1.
3.2.5.2.
3.2.5.3.
3.2.5.4.
3.2.5.5.
3.2.5.6.
3.2.5.7.
3.2.5.8.
3.2.5.9.
3.2.5.10.
3.2.5.11. (✳).
3.2.5.12. (✳).
3.2.5.13. (✳).
3.2.5.14. (✳).
3.2.5.15. (✳).
3.2.5.16. (✳).
3.2.5.17. (✳).
3.2.5.18. (✳).
3.2.5.19. (✳).
3.2.5.20. (✳).
3.2.5.21. (✳).
3.2.5.22.
3.2.5.23.
3.2.5.24. (✳).
3.3 Applications of Double Integrals
3.3.4 Exercises
3.3.4.2. (✳).
3.3.4.3. (✳).
3.3.4.4. (✳).
3.3.4.5. (✳).
3.3.4.6. (✳).
3.3.4.7. (✳).
3.3.4.8. (✳).
3.3.4.9. (✳).
3.4 Surface Area
Exercises
3.4.4. (✳).
3.4.5. (✳).
3.4.6. (✳).
3.4.7. (✳).
3.4.8. (✳).
3.4.9.
3.4.10. (✳).
3.5 Triple Integrals
Exercises
3.5.3.
3.5.4.
3.5.5.
3.5.6. (✳).
3.5.7. (✳).
3.5.8. (✳).
3.5.9. (✳).
3.5.10. (✳).
3.5.11. (✳).
3.5.12. (✳).
3.5.13. (✳).
3.5.14. (✳).
3.5.15. (✳).
3.5.16. (✳).
3.5.17. (✳).
3.5.18. (✳).
3.5.19. (✳).
3.5.20. (✳).
3.5.21. (✳).
3.5.22. (✳).
3.6 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates
3.6.4 Exercises
3.6.4.1.
3.6.4.2.
3.6.4.3.
3.6.4.4.
3.6.4.5.
3.6.4.6.
3.6.4.7. (✳).
3.6.4.8. (✳).
3.6.4.9. (✳).
3.6.4.10. (✳).
3.6.4.11. (✳).
3.6.4.12.
3.6.4.13. (✳).
3.6.4.14. (✳).
3.6.4.15. (✳).
3.7 Triple Integrals in Spherical Coordinates
3.7.5 Exercises
3.7.5.1.
3.7.5.2.
3.7.5.3.
3.7.5.4.
3.7.5.5.
3.7.5.6. (✳).
3.7.5.7. (✳).
3.7.5.8. (✳).
3.7.5.9.
3.7.5.10. (✳).
3.7.5.11. (✳).
3.7.5.12. (✳).
3.7.5.13. (✳).
3.7.5.14. (✳).
3.7.5.15.
3.7.5.16. (✳).
3.7.5.17. (✳).
3.7.5.18. (✳).
3.7.5.19. (✳).
3.7.5.20. (✳).
3.7.5.21. (✳).
3.7.5.22. (✳).
3.7.5.23. (✳).
3.7.5.24. (✳).
3.7.5.25. (✳).
3.7.5.26. (✳).
3.7.5.27. (✳).
3.7.5.28. (✳).
3.7.5.29. (✳).
3.7.5.30. (✳).
3.7.5.31. (✳).
