Skip to main content\(\require{cancel}\renewcommand{\neg}{ {\sim} }
\newcommand{\limp}{ {\;\Rightarrow\;} }
\newcommand{\nimp}{ {\;\not\Rightarrow\;} }
\newcommand{\liff}{ {\;\Leftrightarrow\;} }
\newcommand{\niff}{ {\;\not\Leftrightarrow\;} }
\newcommand{\st}{ {\mbox{ s.t. }} }
\newcommand{\es}{ {\varnothing}}
\newcommand{\ds}{ \displaystyle }
\newcommand{\pow}[1]{ \mathcal{P}\left(#1\right) }
\newcommand{\set}[1]{ \left\{#1\right\} }
\newcommand{\bdiff}[2]{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}#2} \left( #1 \right)}
\newcommand{\ddiff}[3]{ \frac{\mathrm{d}^#1#2}{\mathrm{d}{#3}^#1}}
\newcommand{\pdiff}[2]{ \frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bbbp}{\mathbb{P}}
\newcommand{\De}{\Delta}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\newcommand{\half}{\tfrac{1}{2}}
\newcommand{\ts}{ \textstyle }
\newcommand{\diff}[2]{ \frac{\mathrm{d} #1 }{\mathrm{d}#2}}
\newcommand{\difftwo}[2]{ \frac{\mathrm{d^2} #1 }{\mathrm{d}{#2}^2}}
\newcommand{\dee}[1]{\mathrm{d}#1}
\newcommand{\soln}{ \medskip\noindent\emph{Solution.}\ \ \ }
\newcommand{\arccsc}{\mathop{\mathrm{arccsc}}}
\newcommand{\arcsec}{\mathop{\mathrm{arcsec}}}
\newcommand{\arccot}{\mathop{\mathrm{arccot}}}
\newcommand{\erf}{\mathop{\mathrm{erf}}}
\newcommand{\smsum}{\mathop{{\ts \sum}}}
\newcommand{\atp}[2]{ \genfrac{}{}{0in}{}{#1}{#2} }
\newcommand{\vr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\vR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\vv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\va}{\mathbf{a}}
\newcommand{\vb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\vc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\vd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\ve}{\mathbf{e}}
\newcommand{\vf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\vC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\vp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\vn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\vt}{\mathbf{t}}
\newcommand{\vu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\vw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\vV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\vx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\vF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\vG}{\mathbf{G}}
\newcommand{\vH}{\mathbf{H}}
\newcommand{\vT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\vN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\vL}{\mathbf{L}}
\newcommand{\vA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\vB}{\mathbf{B}}
\newcommand{\vD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\vE}{\mathbf{E}}
\newcommand{\vJ}{\mathbf{J}}
\newcommand{\vZero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\vPhi}{\mathbf{\Phi}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\Ha}{\hat{\mathbf{a}}}
\newcommand{\he}{\hat{\mathbf{e}}}
\newcommand{\hi}{\hat{\pmb{\imath}}}
\newcommand{\hj}{\hat{\pmb{\jmath}}}
\newcommand{\hk}{\hat{\mathbf{k}}}
\newcommand{\hn}{\hat{\mathbf{n}}}
\newcommand{\hr}{\hat{\mathbf{r}}}
\newcommand{\hvt}{\hat{\mathbf{t}}}
\newcommand{\hN}{\hat{\mathbf{N}}}
\newcommand{\vth}{{\pmb{\theta}}}
\newcommand{\vTh}{{\pmb{\Theta}}}
\newcommand{\vnabla}{ { \mathchoice{\pmb{\nabla}}
{\pmb{\nabla}}
{\pmb{\scriptstyle\nabla}}
{\pmb{\scriptscriptstyle\nabla}} } }
\newcommand{\ha}[1]{\mathbf{\hat e}^{(#1)}}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\vOm}{\pmb{\Omega}}
\newcommand{\vom}{\pmb{\omega}}
\newcommand{\svOm}{\pmb{\scriptsize\Omega}}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\ga}{\gamma}
\newcommand{\ka}{\kappa}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\bbbone}{\mathbb{1}}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\def\tr{\mathop{\rm tr}}
\newcommand{\Atop}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\dblInt}{\iint}
\newcommand{\tripInt}{\iiint}
\newcommand{\Set}[2]{\big\{ \ #1\ \big|\ #2\ \big\}}
\newcommand{\rhof}{{\rho_{\!{\scriptscriptstyle f}}}}
\newcommand{\rhob}{{\rho_{{\scriptscriptstyle b}}}}
\newcommand{\hT}{\hat{\mathbf{T}}}
\newcommand{\hB}{\hat{\mathbf{B}}}
\newcommand{\YEaxis}[2]{\draw[help lines] (-#1,0)--(#1,0) node[right]{$x$};
\draw[help lines] (0,-#2)--(0,#2) node[above]{$y$};}
\newcommand{\YEaaxis}[4]{\draw[help lines] (-#1,0)--(#2,0)
node[right]{$x$};
\draw[help lines] (0,-#3)--(0,#4) node[above]{$y$};}
\newcommand{\YEtaaxis}[4]{\draw[help lines] (-#1,0)--(#2,0)
node[right]{$t$};
\draw[help lines] (0,-#3)--(0,#4) node[above]{$y$};}
\newcommand{\YEtaxis}[4]{\draw[help lines] (-#1,0)--(#2,0)
node[right]{$t$};
\draw[help lines] (0,-#3)--(0,#4) node[above]{$y$};}
\newcommand{\YExcoord}[2]{
\draw (#1,.2)--(#1,-.2) node[below]{$#2$};}
\newcommand{\YEycoord}[2]{
\draw (.2,#1)--(-.2,#1) node[left]{$#2$};}
\newcommand{\YEnxcoord}[2]{
\draw (#1,-.2)--(#1,.2) node[above]{$#2$};}
\newcommand{\YEnycoord}[2]{
\draw (-.2,#1)--(.2,#1) node[right]{$#2$};}
\newcommand{\YEstickfig}[3]{
\draw (#1,#2) arc(-90:270:2mm);
\draw (#1,#2)--(#1,#2-.5) (#1-.25,#2-.75)--(#1,#2-.5)--(#1+.25,#2-.75) (#1-.2,#2-.2)--(#1+.2,#2-.2);}
\newcommand{\trigtri}[4]{
\begin{tikzpicture}
\draw (-.5,0)--(2,0)--(2,1.5)--cycle;
\draw (1.8,0) |- (2,.2);
\draw[double] (0,0) arc(0:30:.5cm);
\draw (0,.2) node[right]{$#1$};
\draw (1,-.5) node{$#2$};
\draw (2,.75) node[right]{$#3$};
\draw (.6,1.1) node[rotate=30]{$#4$};
\end{tikzpicture}}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
Appendix B Hints for Exercises
1 Curves
1.1 Derivatives, Velocity, Etc.
Exercises
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.1.6.
1.1.7.
1.1.8.
1.1.9. (✳).
1.1.10.
1.1.11. (✳).
1.1.12.
1.1.13. (✳).
1.1.14.
1.1.16.
1.1.17. (✳).
1.1.18. (✳).
1.1.19.
1.1.20. (✳).
1.1.22. (✳).
1.1.23.
1.1.24.
1.1.25. (✳).
1.1.26. (✳).
1.1.27. (✳).
1.1.28.
1.1.29.
1.1.30.
1.1.31.
1.2 Reparametrization
Exercises
1.3 Curvature
Exercises
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
1.3.7.
1.3.8.
1.3.9.
1.3.11. (✳).
1.4 Curves in Three Dimensions
Exercises
1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
1.4.5. (✳).
1.4.6. (✳).
1.4.7.
1.4.8.
1.4.9.
1.4.10. (✳).
1.4.11. (✳).
1.4.12. (✳).
1.4.13. (✳).
1.4.14. (✳).
1.4.15. (✳).
1.4.16. (✳).
1.4.17. (✳).
1.4.18. (✳).
1.4.19. (✳).
1.4.20. (✳).
1.4.21. (✳).
1.4.22. (✳).
1.4.23. (✳).
1.4.24. (✳).
1.4.25.
1.4.26. (✳).
1.4.27. (✳).
1.4.28. (✳).
1.4.29. (✳).
1.4.30. (✳).
1.4.31. (✳).
1.6 Integrating Along a Curve
Exercises
1.6.3.
1.6.4.
1.6.5.
1.6.7.
1.6.8. (✳).
1.6.9. (✳).
1.6.10.
1.7 Sliding on a Curve
1.7.4 Exercises
1.7.4.1.
1.7.4.2.
1.7.4.3.
1.7.4.4.
1.7.4.5.
1.7.4.6.
1.7.4.7.
1.7.4.8.
1.7.4.9.
1.7.4.10.
1.7.4.11.
1.7.4.12.
1.8 Optional — Polar Coordinates
Exercises
1.9 Optional — Central Forces
Exercises
2 Vector Fields
2.1 Definitions and First Examples
Exercises
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.5.
2.1.6.
2.1.7.
2.1.8.
2.1.9.
2.1.10.
2.1.11.
2.1.12.
2.1.13.
2.2 Optional — Field Lines
2.2.2 Exercises
2.3 Conservative Vector Fields
Exercises
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.3.5. (✳).
2.3.6.
2.3.7.
2.3.8.
2.3.9.
2.3.11.
2.3.12.
2.3.13.
2.3.14.
2.3.15.
2.3.16.
2.4 Line Integrals
2.4.2 Exercises
2.4.2.1.
2.4.2.2.
2.4.2.3.
2.4.2.4.
2.4.2.5. (✳).
2.4.2.6.
2.4.2.7. (✳).
2.4.2.8.
2.4.2.11. (✳).
2.4.2.12.
2.4.2.14. (✳).
2.4.2.15. (✳).
2.4.2.16. (✳).
2.4.2.17. (✳).
2.4.2.18. (✳).
2.4.2.19. (✳).
2.4.2.20. (✳).
2.4.2.21. (✳).
2.4.2.22. (✳).
2.4.2.23. (✳).
2.4.2.24. (✳).
2.4.2.25. (✳).
2.4.2.26. (✳).
2.4.2.27. (✳).
2.4.2.28. (✳).
2.4.2.29. (✳).
2.4.2.30. (✳).
2.4.2.31. (✳).
2.4.2.32.
2.4.2.33. (✳).
2.4.2.34. (✳).
2.4.2.35. (✳).
2.4.2.36. (✳).
2.4.2.37. (✳).
2.4.2.38. (✳).
2.4.2.39. (✳).
2.4.2.40. (✳).
2.4.2.41. (✳).
2.4.2.42. (✳).
2.4.2.43. (✳).
2.4.2.44. (✳).
3 Surface Integrals
3.1 Parametrized Surfaces
Exercises
3.1.3. (✳).
3.1.4. (✳).
3.1.5. (✳).
3.2 Tangent Planes
Exercises
3.2.1.
3.2.2.
3.2.4.
3.2.5.
3.2.10. (✳).
3.2.11. (✳).
3.2.13. (✳).
3.2.14. (✳).
3.2.15. (✳).
3.2.16. (✳).
3.2.17. (✳).
3.2.18.
3.3 Surface Integrals
3.3.6 Exercises
3.3.6.1.
3.3.6.2.
3.3.6.3.
3.3.6.8. (✳).
3.3.6.9.
3.3.6.11.
3.3.6.12.
3.3.6.13.
3.3.6.14.
3.3.6.16.
3.3.6.20. (✳).
3.3.6.21. (✳).
3.3.6.22. (✳).
3.3.6.24. (✳).
3.3.6.25. (✳).
3.3.6.26. (✳).
3.3.6.27. (✳).
3.3.6.37.
3.3.6.38. (✳).
3.3.6.39. (✳).
4 Integral Theorems
4.1 Gradient, Divergence and Curl
4.1.6 Exercises
4.2 The Divergence Theorem
4.2.6 Exercises
4.2.6.3.
4.2.6.4.
4.2.6.5.
4.2.6.6.
4.2.6.7. (✳).
4.2.6.8.
4.2.6.9.
4.2.6.10. (✳).
4.2.6.11. (✳).
4.2.6.12. (✳).
4.2.6.13. (✳).
4.2.6.14. (✳).
4.2.6.15. (✳).
4.2.6.16. (✳).
4.2.6.17. (✳).
4.2.6.18. (✳).
4.2.6.19. (✳).
4.2.6.20. (✳).
4.2.6.21. (✳).
4.2.6.22. (✳).
4.2.6.23. (✳).
4.2.6.25. (✳).
4.2.6.29. (✳).
4.2.6.31. (✳).
4.2.6.32. (✳).
4.2.6.34.
4.2.6.35.
4.2.6.37. (✳).
4.2.6.38. (✳).
4.2.6.39. (✳).
4.2.6.40. (✳).
4.2.6.41. (✳).
4.2.6.42. (✳).
4.2.6.43. (✳).
4.2.6.44. (✳).
4.2.6.46. (✳).
4.2.6.47. (✳).
4.2.6.48. (✳).
4.2.6.49. (✳).
4.2.6.50. (✳).
4.3 Green's Theorem
Exercises
4.3.5.
4.3.6.
4.3.7. (✳).
4.3.8. (✳).
4.3.9. (✳).
4.3.10. (✳).
4.3.11. (✳).
4.3.12. (✳).
4.3.13. (✳).
4.3.14. (✳).
4.3.15. (✳).
4.3.18. (✳).
4.3.20. (✳).
4.3.21. (✳).
4.3.22. (✳).
4.3.24. (✳).
4.3.25.
4.4 Stokes' Theorem
4.4.3 Exercises
4.4.3.1.
4.4.3.2.
4.4.3.3.
4.4.3.4.
4.4.3.5.
4.4.3.6. (✳).
4.4.3.7. (✳).
4.4.3.8. (✳).
4.4.3.9.
4.4.3.10.
4.4.3.16. (✳).
4.4.3.17. (✳).
4.4.3.18. (✳).
4.4.3.19. (✳).
4.4.3.20. (✳).
4.4.3.21. (✳).
4.4.3.26. (✳).
4.4.3.29.
4.4.3.30. (✳).
4.4.3.31. (✳).
4.4.3.32. (✳).
4.4.3.33. (✳).
4.4.3.34. (✳).
4.4.3.35. (✳).
4.4.3.36. (✳).
4.4.3.37. (✳).
4.4.3.38. (✳).
4.4.3.39. (✳).
4.4.3.40.
5 True/False and Other Short Questions
5.2 Exercises
5.2.2. (✳).
5.2.3. (✳).
5.2.4. (✳).
5.2.5. (✳).
5.2.8. (✳).
5.2.9. (✳).
5.2.10. (✳).
5.2.11. (✳).
5.2.13. (✳).
5.2.20. (✳).
5.2.21. (✳).
