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\)
Appendix F Answers to Exercises
1 Integration
1.1 Definition of the Integral
1.1.8 Exercises
1.1.8.1.
1.1.8.2.
1.1.8.3.
1.1.8.4.
1.1.8.5.
1.1.8.6.
1.1.8.7.
1.1.8.8.
1.1.8.9.
1.1.8.10.
1.1.8.11.
1.1.8.12. (β³).
1.1.8.13.
1.1.8.14.
1.1.8.15. (β³).
1.1.8.16.
1.1.8.17.
1.1.8.18. (β³).
1.1.8.19. (β³).
1.1.8.20. (β³).
1.1.8.21. (β³).
1.1.8.22. (β³).
1.1.8.23. (β³).
1.1.8.24. (β³).
1.1.8.25. (β³).
1.1.8.26.
1.1.8.27.
1.1.8.28. (β³).
1.1.8.29.
1.1.8.30.
1.1.8.31.
1.1.8.32.
1.1.8.33. (β³).
1.1.8.34. (β³).
1.1.8.35.
1.1.8.36.
1.1.8.37. (β³).
1.1.8.38. (β³).
1.1.8.39. (β³).
1.1.8.40. (β³).
1.1.8.41. (β³).
1.1.8.42.
1.1.8.43.
1.1.8.44.
1.1.8.45.
1.1.8.46.
1.1.8.47.
1.2 Basic properties of the definite integral
1.2.3 Exercises
1.2.3.1.
1.2.3.2.
1.2.3.3. (β³).
1.2.3.4.
1.2.3.5. (β³).
1.2.3.6. (β³).
1.2.3.7. (β³).
1.2.3.8.
1.2.3.9. (β³).
1.2.3.10.
1.2.3.11.
1.2.3.12. (β³).
1.2.3.13. (β³).
1.2.3.14. (β³).
1.2.3.15.
1.2.3.16.
1.2.3.17.
1.2.3.18.
1.2.3.19.
1.2.3.20.
1.3 The Fundamental Theorem of Calculus
1.3.2 Exercises
1.3.2.1. (β³).
1.3.2.2. (β³).
1.3.2.3. (β³).
1.3.2.4.
1.3.2.5.
1.3.2.6.
1.3.2.7.
1.3.2.8.
1.3.2.9.
1.3.2.10.
1.3.2.11.
1.3.2.12.
1.3.2.13.
1.3.2.14.
1.3.2.15.
1.3.2.16.
1.3.2.17.
1.3.2.18.
1.3.2.19.
1.3.2.20. (β³).
1.3.2.21. (β³).
1.3.2.22.
1.3.2.23.
1.3.2.24.
1.3.2.25.
1.3.2.26.
1.3.2.27. (β³).
1.3.2.28. (β³).
1.3.2.29. (β³).
1.3.2.30. (β³).
1.3.2.31. (β³).
1.3.2.32. (β³).
1.3.2.33. (β³).
1.3.2.34. (β³).
1.3.2.35. (β³).
1.3.2.36. (β³).
1.3.2.37. (β³).
1.3.2.38. (β³).
1.3.2.39. (β³).
1.3.2.40. (β³).
1.3.2.41. (β³).
1.3.2.42. (β³).
1.3.2.43. (β³).
1.3.2.44. (β³).
1.3.2.45. (β³).
1.3.2.46. (β³).
1.3.2.47. (β³).
1.3.2.48.
1.3.2.49. (β³).
1.3.2.50.
1.3.2.51.
1.3.2.52.
1.4 Substitution
1.4.2 Exercises
1.4.2.1.
1.4.2.2.
1.4.2.3.
1.4.2.4.
1.4.2.5. (β³).
1.4.2.6.
1.4.2.7. (β³).
1.4.2.8. (β³).
1.4.2.9. (β³).
1.4.2.10. (β³).
1.4.2.11. (β³).
1.4.2.12. (β³).
1.4.2.13. (β³).
1.4.2.14. (β³).
1.4.2.15.
1.4.2.16. (β³).
1.4.2.17. (β³).
1.4.2.18.
1.4.2.19.
1.4.2.20.
1.4.2.21.
1.4.2.22.
1.4.2.23. (β³).
1.4.2.24. (β³).
1.4.2.25.
1.5 Area between curves
1.5.2 Exercises
1.5.2.1.
1.5.2.2.
1.5.2.3. (β³).
1.5.2.4. (β³).
1.5.2.5. (β³).
1.5.2.6. (β³).
1.5.2.7. (β³).
1.5.2.8. (β³).
1.5.2.9. (β³).
1.5.2.10. (β³).
1.5.2.11. (β³).
1.5.2.12. (β³).
1.5.2.13.
1.5.2.14. (β³).
1.5.2.15. (β³).
1.5.2.16. (β³).
1.5.2.17.
1.5.2.18.
1.6 Volumes
1.6.2 Exercises
1.6.2.1.
1.6.2.2.
1.6.2.3.
1.6.2.4. (β³).
1.6.2.5. (β³).
1.6.2.6. (β³).
1.6.2.7.
1.6.2.8. (β³).
1.6.2.9. (β³).
1.6.2.10. (β³).
1.6.2.11. (β³).
1.6.2.12. (β³).
1.6.2.13. (β³).
1.6.2.14. (β³).
1.6.2.15. (β³).
1.6.2.16. (β³).
1.6.2.17.
1.6.2.18. (β³).
1.6.2.19. (β³).
1.6.2.20. (β³).
1.6.2.21. (β³).
1.6.2.22.
1.7 Integration by parts
1.7.2 Exercises
1.7.2.1.
1.7.2.2.
1.7.2.3.
1.7.2.4.
1.7.2.5.
1.7.2.6. (β³).
1.7.2.7. (β³).
1.7.2.8. (β³).
1.7.2.9. (β³).
1.7.2.10.
1.7.2.11.
1.7.2.12.
1.7.2.13.
1.7.2.14.
1.7.2.15.
1.7.2.16.
1.7.2.17. (β³).
1.7.2.18. (β³).
1.7.2.19.
1.7.2.20.
1.7.2.21.
1.7.2.22.
1.7.2.23.
1.7.2.24.
1.7.2.25. (β³).
1.7.2.26. (β³).
1.7.2.27. (β³).
1.7.2.28. (β³).
1.7.2.29.
1.8 Trigonometric Integrals
1.8.4 Exercises
1.8.4.1.
1.8.4.2.
1.8.4.3.
1.8.4.4. (β³).
1.8.4.5. (β³).
1.8.4.6. (β³).
1.8.4.7.
1.8.4.8.
1.8.4.9.
1.8.4.10.
1.8.4.11.
1.8.4.12. (β³).
1.8.4.13. (β³).
1.8.4.14.
1.8.4.15.
1.8.4.16.
1.8.4.17.
1.8.4.18.
1.8.4.19.
1.8.4.20.
1.8.4.21.
1.8.4.22.
1.8.4.23. (β³).
1.8.4.24.
1.8.4.25.
1.8.4.26.
1.8.4.27.
1.8.4.28.
1.8.4.29.
1.9 Trigonometric Substitution
1.9.2 Exercises
1.9.2.1. (β³).
1.9.2.2.
1.9.2.3.
1.9.2.4.
1.9.2.5. (β³).
1.9.2.6. (β³).
1.9.2.7. (β³).
1.9.2.8. (β³).
1.9.2.9.
1.9.2.10. (β³).
1.9.2.11. (β³).
1.9.2.12. (β³).
1.9.2.13.
1.9.2.14. (β³).
1.9.2.15. (β³).
1.9.2.16.
1.9.2.17. (β³).
1.9.2.18.
1.9.2.19.
1.9.2.20.
1.9.2.21.
1.9.2.22.
1.9.2.23.
1.9.2.24.
1.9.2.25.
1.9.2.26.
1.9.2.27.
1.9.2.28.
1.10 Partial Fractions
1.10.4 Exercises
1.10.4.1.
1.10.4.2. (β³).
1.10.4.3. (β³).
1.10.4.4.
1.10.4.5.
1.10.4.6.
1.10.4.7. (β³).
1.10.4.8. (β³).
1.10.4.9. (β³).
1.10.4.10. (β³).
1.10.4.11. (β³).
1.10.4.12. (β³).
1.10.4.13.
1.10.4.14.
1.10.4.15.
1.10.4.16.
1.10.4.17.
1.10.4.18.
1.10.4.19.
1.10.4.20.
1.10.4.21.
1.10.4.22.
1.10.4.23.
1.10.4.24.
1.10.4.25.
1.10.4.26.
1.10.4.27. (β³).
1.10.4.28.
1.10.4.29.
1.11 Numerical Integration
1.11.6 Exercises
1.11.6.1.
1.11.6.2.
1.11.6.3.
1.11.6.4.
1.11.6.5.
1.11.6.6.
1.11.6.7.
1.11.6.8.
1.11.6.9. (β³).
1.11.6.10.
1.11.6.11.
1.11.6.12. (β³).
1.11.6.13. (β³).
1.11.6.14. (β³).
1.11.6.15. (β³).
1.11.6.16. (β³).
1.11.6.17. (β³).
1.11.6.18. (β³).
1.11.6.19. (β³).
1.11.6.20. (β³).
1.11.6.21. (β³).
1.11.6.22. (β³).
1.11.6.23. (β³).
1.11.6.24. (β³).
1.11.6.25. (β³).
1.11.6.26. (β³).
1.11.6.27. (β³).
1.11.6.28. (β³).
1.11.6.29. (β³).
1.11.6.30. (β³).
1.11.6.31.
1.11.6.32.
1.11.6.33.
1.12 Improper Integrals
1.12.4 Exercises
1.12.4.1.
1.12.4.2.
1.12.4.3.
1.12.4.4. (β³).
1.12.4.5.
1.12.4.6. (β³).
1.12.4.7. (β³).
1.12.4.8. (β³).
1.12.4.9. (β³).
1.12.4.10.
1.12.4.11.
1.12.4.12.
1.12.4.13.
1.12.4.14. (β³).
1.12.4.15. (β³).
1.12.4.16. (β³).
1.12.4.17.
1.12.4.18. (β³).
1.12.4.19.
1.12.4.20.
1.12.4.21.
1.12.4.22.
1.12.4.23. (β³).
1.12.4.24.
1.12.4.25. (β³).
1.12.4.26.
1.12.4.27.
1.13 More Integration Examples
Exercises
1.13.2.
1.13.3.
1.13.4.
1.13.5.
1.13.6.
1.13.7. (β³).
1.13.8. (β³).
1.13.9. (β³).
1.13.10. (β³).
1.13.11. (β³).
1.13.12.
1.13.13. (β³).
1.13.14. (β³).
1.13.15. (β³).
1.13.16. (β³).
1.13.17. (β³).
1.13.18. (β³).
1.13.19.
1.13.20. (β³).
1.13.21. (β³).
1.13.22.
1.13.23.
1.13.24.
1.13.25.
1.13.26.
1.13.27.
1.13.28.
1.13.29.
1.13.30.
1.13.31.
1.13.32.
1.13.33. (β³).
1.13.34. (β³).
1.13.35.
1.13.36.
1.13.37.
1.13.38.
1.13.39.
1.13.40.
2 Applications of Integration
2.1 Work
2.1.2 Exercises
2.1.2.1.
2.1.2.2.
2.1.2.3.
2.1.2.4.
2.1.2.5.
2.1.2.6.
2.1.2.7. (β³).
2.1.2.8.
2.1.2.9. (β³).
2.1.2.10. (β³).
2.1.2.11. (β³).
2.1.2.12.
2.1.2.13. (β³).
2.1.2.14.
2.1.2.15.
2.1.2.16.
2.1.2.17.
2.1.2.18.
2.1.2.19.
2.1.2.20.
2.1.2.21. (β³).
2.1.2.22.
2.1.2.23.
2.1.2.24.
2.1.2.25.
2.1.2.26.
2.1.2.27.
2.1.2.28.
2.1.2.29.
2.2 Averages
2.2.2 Exercises
2.2.2.1.
2.2.2.2.
2.2.2.3.
2.2.2.4.
2.2.2.5.
2.2.2.6.
2.2.2.7. (β³).
2.2.2.8. (β³).
2.2.2.9. (β³).
2.2.2.10. (β³).
2.2.2.11. (β³).
2.2.2.12. (β³).
2.2.2.13. (β³).
2.2.2.14.
2.2.2.15.
2.2.2.16.
2.2.2.17.
2.2.2.18.
2.2.2.19. (β³).
2.2.2.20.
2.2.2.21.
2.2.2.22.
2.2.2.23.
2.2.2.24.
2.2.2.25.
2.2.2.26.
2.2.2.27.
2.2.2.28.
2.2.2.29.
2.3 Centre of Mass and Torque
2.3.3 Exercises
2.3.3.1.
2.3.3.2.
2.3.3.3.
2.3.3.4.
2.3.3.5.
2.3.3.6.
2.3.3.7.
2.3.3.8.
2.3.3.9.
2.3.3.10.
2.3.3.11. (β³).
2.3.3.12.
2.3.3.13.
2.3.3.14. (β³).
2.3.3.15. (β³).
2.3.3.16. (β³).
2.3.3.17. (β³).
2.3.3.18. (β³).
2.3.3.19. (β³).
2.3.3.20. (β³).
2.3.3.21. (β³).
2.3.3.22.
2.3.3.23.
2.3.3.24. (β³).
2.3.3.25. (β³).
2.3.3.26. (β³).
2.3.3.27.
2.3.3.28.
2.3.3.29.
2.3.3.30.
2.3.3.31.
2.3.3.32.
2.4 Separable Differential Equations
2.4.7 Exercises
2.4.7.1.
2.4.7.2.
2.4.7.3.
2.4.7.4.
2.4.7.5.
2.4.7.6.
2.4.7.7.
2.4.7.8.
2.4.7.9.
2.4.7.10. (β³).
2.4.7.11. (β³).
2.4.7.12. (β³).
2.4.7.13. (β³).
2.4.7.14. (β³).
2.4.7.15. (β³).
2.4.7.16. (β³).
2.4.7.17. (β³).
2.4.7.18. (β³).
2.4.7.19. (β³).
2.4.7.20. (β³).
2.4.7.21. (β³).
2.4.7.22. (β³).
2.4.7.23. (β³).
2.4.7.24. (β³).
2.4.7.25. (β³).
2.4.7.26. (β³).
2.4.7.27. (β³).
2.4.7.28. (β³).
2.4.7.29. (β³).
2.4.7.30. (β³).
2.4.7.31. (β³).
2.4.7.32. (β³).
2.4.7.33. (β³).
2.4.7.34. (β³).
2.4.7.35. (β³).
2.4.7.36.
2.4.7.37.
3 Sequence and series
3.1 Sequences
3.1.2 Exercises
3.1.2.1.
3.1.2.2.
3.1.2.3.
3.1.2.4.
3.1.2.5.
3.1.2.6.
3.1.2.7.
3.1.2.8.
3.1.2.9.
3.1.2.10.
3.1.2.11.
3.1.2.12.
3.1.2.13.
3.1.2.14.
3.1.2.15.
3.1.2.16.
3.1.2.17.
3.1.2.18. (β³).
3.1.2.19. (β³).
3.1.2.20. (β³).
3.1.2.21. (β³).
3.1.2.22.
3.1.2.23.
3.1.2.24.
3.1.2.25.
3.1.2.26.
3.1.2.27.
3.1.2.28.
3.1.2.29.
3.1.2.30.
3.2 Series
3.2.2 Exercises
3.2.2.1.
3.2.2.2.
3.2.2.3.
3.2.2.4.
3.2.2.5.
3.2.2.6.
3.2.2.7.
3.2.2.8.
3.2.2.9.
3.2.2.10.
3.2.2.11.
3.2.2.12.
3.2.2.13.
3.2.2.14.
3.2.2.15. (β³).
3.2.2.16. (β³).
3.2.2.17. (β³).
3.2.2.18. (β³).
3.2.2.19. (β³).
3.2.2.20. (β³).
3.2.2.21. (β³).
3.2.2.22. (β³).
3.2.2.23. (β³).
3.2.2.24. (β³).
3.2.2.25. (β³).
3.2.2.26. (β³).
3.2.2.27.
3.2.2.28.
3.2.2.29.
3.2.2.30.
3.2.2.31.
3.2.2.32.
3.2.2.33.
3.3 Convergence Tests
3.3.11 Exercises
3.3.11.1.
3.3.11.2.
3.3.11.3.
3.3.11.4.
3.3.11.5.
3.3.11.6.
3.3.11.7.
3.3.11.8.
3.3.11.9.
3.3.11.10.
3.3.11.11.
3.3.11.12.
3.3.11.13.
3.3.11.14. (β³).
3.3.11.15. (β³).
3.3.11.16. (β³).
3.3.11.17. (β³).
3.3.11.18. (β³).
3.3.11.19.
3.3.11.20.
3.3.11.21.
3.3.11.22.
3.3.11.23.
3.3.11.24.
3.3.11.25.
3.3.11.26.
3.3.11.27.
3.3.11.28. (β³).
3.3.11.29. (β³).
3.3.11.30. (β³).
3.3.11.31. (β³).
3.3.11.32. (β³).
3.3.11.33. (β³).
3.3.11.34. (β³).
3.3.11.35. (β³).
3.3.11.36. (β³).
3.3.11.37.
3.3.11.38. (β³).
3.3.11.39. (β³).
3.3.11.40. (β³).
3.3.11.41. (β³).
3.3.11.42. (β³).
3.3.11.43. (β³).
3.3.11.44. (β³).
3.3.11.45. (β³).
3.3.11.46. (β³).
3.3.11.47. (β³).
3.3.11.48. (β³).
3.3.11.49. (β³).
3.3.11.50. (β³).
3.3.11.51. (β³).
3.3.11.52.
3.3.11.53.
3.4 Absolute and Conditional Convergence
3.4.3 Exercises
3.4.3.3. (β³).
3.4.3.4. (β³).
3.4.3.5. (β³).
3.4.3.6. (β³).
3.4.3.7. (β³).
3.4.3.8. (β³).
3.4.3.9. (β³).
3.4.3.10.
3.4.3.11.
3.4.3.12.
3.4.3.13. (β³).
3.4.3.14.
3.4.3.15.
3.5 Power Series
3.5.3 Exercises
3.5.3.1.
3.5.3.2.
3.5.3.3.
3.5.3.4.
3.5.3.5. (β³).
3.5.3.6. (β³).
3.5.3.7. (β³).
3.5.3.8. (β³).
3.5.3.9. (β³).
3.5.3.10. (β³).
3.5.3.11. (β³).
3.5.3.12. (β³).
3.5.3.13. (β³).
3.5.3.14. (β³).
3.5.3.15. (β³).
3.5.3.16. (β³).
3.5.3.17.
3.5.3.18. (β³).
3.5.3.19. (β³).
3.5.3.20. (β³).
3.5.3.21. (β³).
3.5.3.22. (β³).
3.5.3.23.
3.5.3.24.
3.5.3.25.
3.5.3.26.
3.5.3.27.
3.6 Taylor Series
3.6.8 Exercises
3.6.8.1.
3.6.8.2.
3.6.8.3.
3.6.8.4.
3.6.8.5.
3.6.8.6.
3.6.8.7.
3.6.8.8.
3.6.8.9. (β³).
3.6.8.10. (β³).
3.6.8.11. (β³).
3.6.8.12. (β³).
3.6.8.13. (β³).
3.6.8.14. (β³).
3.6.8.15. (β³).
3.6.8.16. (β³).
3.6.8.17. (β³).
3.6.8.18. (β³).
3.6.8.19. (β³).
3.6.8.20. (β³).
3.6.8.21. (β³).
3.6.8.22. (β³).
3.6.8.23.
3.6.8.24.
3.6.8.25. (β³).
3.6.8.26.
3.6.8.27.
3.6.8.28.
3.6.8.29.
3.6.8.30.
3.6.8.31.
3.6.8.32. (β³).
3.6.8.33. (β³).
3.6.8.34.
3.6.8.35.
3.6.8.36.
3.6.8.37.
3.6.8.38.
3.6.8.39. (β³).
3.6.8.40. (β³).
3.6.8.41. (β³).
3.6.8.42. (β³).
3.6.8.43. (β³).
3.6.8.44. (β³).
3.6.8.45. (β³).
3.6.8.46. (β³).
3.6.8.47. (β³).
3.6.8.48. (β³).
3.6.8.49. (β³).
3.6.8.50.
3.6.8.51.
3.6.8.52.
3.6.8.53.